КОМПАКТНОСТЬ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ. СВЯЗНОСТЬ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ

Определение 1. Пусть (Х, Ф) - топологическое пространство и множество Н Ì Х. Семейство U = {Аa} открытых множеств Аa называется открытым покрытием множества Н, если

Н Ì .

Подпокрытие покрытия U – это такое подсемейство семейства U , которое само является покрытием для Н.

Определение 2. Топологическое пространство Х называется компактным или компактом, если из любого его открытого покрытия можно выбрать конечное подпокрытие.

Определение 3. Множество М в топологическом пространстве Х называется компактным, если оно является компактным топологическим пространством относительно индуцированной топологии (как подпространство).

Пользоваться этим определением компактности множества не очень удобно, так как оно требует построения в множестве с индуцированной топологией. Следующая теорема дает нам возможность обходиться без КОМПАКТНОСТЬ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ. СВЯЗНОСТЬ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ этих дополнительных построений.

Теорема 1. Для того, чтобы множество М в топологическом пространстве Х было компактно, необходимо и достаточно, чтобы из любого открытого покрытия множества М в Х можно было выделить конечное подпокрытие.

Доказательство.

Необходимость. Пусть М – компактно в (Х, Ф). Возьмём любое его покрытие m = { Gb}, где Gb Î Ф. Тогда

m¢ = { Gb Ç M, Gb Î m }

будет открытым покрытием М в смысле индуцированной топологии. Выбирая из m¢ конечное подпокрытие, получаем из соответствующих ему множеств в m искомое конечное подпокрытие.

Достаточность. Пусть m = { Gb} - произвольное открытое покрытие множества М. Тогда m¢ = { Gb Ç M } также является открытым покрытием в смысле КОМПАКТНОСТЬ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ. СВЯЗНОСТЬ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ индуцированной топологии.

По условию из m можно выбрать конечное подпокрытие для М, а последнее даёт подпокрытие для М из m¢. Из определения компактности множества следует, что М – компактно.

Теорема 2. Если топологическое пространство (Х, Ф) компактно, а множество F Ì X – замкнуто, то F – компактно.

Доказательство. Пусть U – произвольное открытое покрытие F. Добавим к U открытое множество (Х \ F).

Тогда система {U, (X \ F)} - открытое покрытие Х.

Так как Х – компактно, то из полученного выше покрытия выбираем конечное покрытие Х.

Обозначим его U1. Если U1 содержит X \ F, то удалив из U1 множество X \ F, получим покрытие, причём конечное, для КОМПАКТНОСТЬ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ. СВЯЗНОСТЬ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ F. Если U1 не содержит X \ F, то U1 и является конечным покрытием F.

В силу теоремы 1 множество F – компактно.

Теорема доказана.

Теорема 3. В хаусдорфовом пространстве (Х, Ф) у любых двух компактных непересекающихся множеств имеются непересекающиеся окрестности.

Доказательство. Пусть А , В - непересекающиеся компактные множества пространства (Х,Ф). Рассмотрим случай, когда В – точка. Тогда фиксируем для каждой точки х Î А и точки В непересекающиеся окрестности Ux и Vx, соответственно. Выделяем из полученного покрытия множества А окрестностями U x конечное покрытие и оставляем соответствующие им окрестности для точки В:

Тогда множества

и

будут непересекающимися окрестностями множества А и точки В КОМПАКТНОСТЬ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ. СВЯЗНОСТЬ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ.

В общем случае мы рассматриваем для каждой точки х Î В непересекающиеся окрестности множества А – U x и точки х – V x и выделяем из полученного покрытия множества В окрестностями V x конечное покрытие



.

Множества

и

будут непересекающимися окрестностями множеств А и В.

Теорема 4. Компактное подмножество М хаусдорфова пространства (Х, Ф) замкнуто.

Доказательство. Действительно, в силу теореме 3 любая точка, не принадлежащая компактному множеству, обладает окрестностью, не пересекающейся с этим множеством, то есть всякая точка не принадлежащая компактному множеству в хаусдорфовом пространстве является для него внешней.

Следовательно, М содержит все свои внутренние и граничные точки, то есть М – замкнуто.

Теорема 5. Подмножество в пространстве R3 компактно в КОМПАКТНОСТЬ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ. СВЯЗНОСТЬ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ том и только том случае, если оно ограничено и замкнуто.

Доказательство. М – ограниченное подмножество R3, то есть оно лежит внутри некоторого шара или куба.

Пусть М – компактно и х0 Î М, U (x0, r n) – шары концентрические с центром в точке х0 и радиусом r n

Так как

{U(x0, r n)}, r n ® ¥

покрытие для М, то можно выбрать конечное подпокрытие, то есть конечную последовательность r1, r2,…, r k и тогда М Ì U (x0, r k), то есть М – ограниченное.

Так как R3 – хаусдорфово пространство, то согласно теореме 4 М – замкнутое множество.

2) Докажем достаточность. По теореме 2 достаточно показать, что кубы КОМПАКТНОСТЬ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ. СВЯЗНОСТЬ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ пространства R3 –компактны.

Куб пространства R3 очевидным образом делится на 23 кубов вдвое меньших размеров, и если некоторое покрытие W исходного куба открытыми множествами пространства R3 не содержит конечного подпокрытия, то тем же свойством оно будет обладать и как покрытие одного из меньших кубов. Повторяя это рассуждение, мы построим убывающую последовательность кубов Q1, Q2,… ,каждый из которых вдвое больших размеров следующего и ни один из которых не покрывается конечным набором множеств из W.

Однако, общая точка этих кубов покрывается некоторым множеством из W, а с ней покрываются этим множеством и кубы Q n c достаточно большим n.

Полученное противоречие доказывает нашу КОМПАКТНОСТЬ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ. СВЯЗНОСТЬ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ теорему.

Пример 1. Доказать, что в евклидовом пространстве с естественной топологией (Е3, Фr ) множество Н состоящее из конечного числа точек компактно.

Доказательство. Пусть Н = { х1, х2, …, хn } и { Ga}aÎА - произвольное открытое покрытие множества Н. По определению покрытия каждая точка хi принадлежит хотя бы одному из множеств Ga. Обозначим G1 одно из множеств множества { Ga}aÎА содержащее х1. Затем обозначим G2 одно из множеств множества { Ga}aÎА содержащее х2 и так далее, для точки хn обозначим Gn одно из множеств множества { Ga}aÎА содержащее хn.

Получили конечный набор открытых множеств G1, G2, …, Gn являющийся покрытием множества КОМПАКТНОСТЬ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ. СВЯЗНОСТЬ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ Н. Согласно теореме 1 множество Н будет компактным множеством.

Пример 2. Доказать, что топологическое пространство (Н, Фд ), где Н бесконечное множество с дискретной топологией, не компактно.

Доказательство. Для данного топологического пространства можно рассмотреть конкретное открытое покрытие самими точками этого пространства. Но тогда из этого покрытия нельзя выбросить даже одного открытого множества, так как соответствующая точка будет не покрыта. Поэтому из рассматриваемого открытого покрытия нельзя выбрать конечного подпокрытия. Поэтому топологическое пространство (Н, Фд ) не компактно.

Пример 3.Пусть (Х, Фк) концентрическое топологическое пространство (см. §2, пример 4 ). Доказать, что (Х, Фк) некомпактное топологическое пространство, но любое ограниченное замкнутое множество Н этого пространства КОМПАКТНОСТЬ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ. СВЯЗНОСТЬ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ является компактным подмножеством.

Доказательство. Пусть { Ga}aÎА - произвольное открытое покрытие множества Н. По определению топологии каждое Ga есть открытый шар с центром в точке О. Следовательно, мы имеем множество вложенных друг в друга открытых шаров, радиусы которых возрастают неограниченно: r1, r2, …, ra, … . Предположим, что нам удалось выбрать конечное подпокрытие G1, G2, …, Gк из покрытия { Ga}aÎА. При этом мы вполне можем считать, что G1Ì G2 Ì … Ì Gк . Тогда соответствующие радиусы этих шаров удовлетворяют неравенствам : r1 £ r2 £ … £ rк . Но открытый шар любого конечного радиуса не покрывает все пространство. Следовательно, предположение неверно.

Докажем вторую часть задачи. Пусть Н ограниченное замкнутое множество в (Х КОМПАКТНОСТЬ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ. СВЯЗНОСТЬ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ, Фк). Обозначим

rх = | Ох |, где х Î Н, r0 = .

Предположим, что мы имеем произвольное открытое покрытие { Ga}aÎА множества Н. Как и в первой части задачи мы имеем множество вложенных друг в друга открытых шаров, радиусы которых возрастают неограниченно: r1, r2, …, ra, … . Рассмотрим все радиусы ra ³ r0. Обозначим наименьший радиус. Тогда ³ r0 и открытый шар из покрытия { Ga}aÎА одновременно будет представлять конечное покрытие Н. Согласно теореме 1 множество Н будет компактным множеством.


documentanimdob.html
documentanimkyj.html
documentanimsir.html
documentanimzsz.html
documentaninhdh.html
Документ КОМПАКТНОСТЬ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ. СВЯЗНОСТЬ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ